Самый старый и наиболее известный из нетранзитивных парадоксов — парадокс с голосованием на выборах, иногда называемый парадоксом Арроу, в честь Кеннета Дж. Арроу, сыгравшего решающую роль в формулировке и доказательстве «теоремы о невозможности идеальной избирательной системы», за которую ему в числе других в 1972 г. была присуждена Нобелевская премия по экономике. В своей работе «Социальный выбор и индивидуальные ценности» Арроу выделил 5 условий, которые, пор всеобщему мнению, существенны для демократии, при которой социальные решения принимаются путем выявления предпочтений отдельных индивидуумов, определяемого по результатам голосования. Арроу доказал, что эти 5 условий логически противоречивы: невозможно придумать избирательную систему, которая бы в некоторых случаях не нарушала по крайней мере одно из 5 существенных условий. Короче говоря, идеальная демократическая избирательная система в принципе невозможна.

Пол А. Самуэльсон сформулировал суть открытия Арроу следующим образом: «Усилия лучших умов документально засвидетельствованного периода истории, направленные на поиск идеальной демократии, оказываются поисками химеры из-за внутреннего логического противоречия исходных принципов… Теперь ученые во всем мире, работающие в области математики, политики, философии и экономики, пытаются спасти то, что может быть спасено, от разрушительного открытия Арроу, занявшего в математической политологии такое же место, какое занимает в математической логике открытая Куртом Гёделем в 1931 г. теорема о невозможности построения непротиворечивой математической теории, содержащей аксиомы арифметики».

(Гарднер М. Путешествие во времени (М.: Мир, 1990). Глава 5 "Нетранзитивные парадоксы". http://www.koob.ru/gardner/travelling_in__time)

Мы проявляем неправильное отношение к математике своим неумением применить то немногое, что знаем, к ложным или сомнительным утверждениям, с которыми сталкиваемся в повседневной жизни. Мы не хотим, чтобы нас дурачили, хотя большинство из нас то и дело становится жертвами одурачивания и со стороны политических деятелей, и средств массовой информации, и даже приятелей.

Примеры таких умышленных спекуляций, хотя и менее коварных, но значительно более распространенных, мы часто видим во всякого рода официальных и неофициальных диаграммах. Возможны два вида злоупотреблений. Я называю их "сжимающим успокаиванием" и "растягивающим вымогательством". В первом случае вертикальный масштаб сжимается, чтобы сгладить резкие взлеты и падения переменной величины. Например, чтобы падение доходов казалось менее резким, компания может представить свои доходы на графике, который сжимает величину уменьшения в семь раз. Для этого достаточно просто взять шкалу от 0 до 21 млн. долл., хотя доходы компании варьировали от 1 до 4 млн. долл. на протяжении последних 30 лет. Напротив, компания, доходы которой возрастают, может прибегнуть к методу растяжения, чтобы ее финансовое положение выглядело более впечатляющим: для этого шкала растягивается, и положительный наклон кривой, увеличиваясь, создает впечатление, что компания испытывает «взлет» (см. рисунок на следующей странице).

(А. К. Дьюдни. О математических спекуляциях и заблуждениях // В мире науки, 1990, № 5, 84–88.)